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最小生成树 prim 和 Kruskal 详细学习笔记

定义

最小生成树是一副连通加权无向图中一棵权值最小的生成树。

最小生成树其实是 最小权重生成树 的简称。

可能翻译为 最小权重生成树 更容易理解一些。意思就是说在图中的每条边都加上权值,所谓权值是一种抽象的含义。可以指代一切可以量化的东西。比如说修路的费用,路程等等。然后在图中找到这样一棵树,边的权值加起来最小。并且既然是棵树,必须满足的要求是无环.

一般用两种贪心算法来找到最小生成树,分别是 primKruskal

Kruskal

Kruskal 算法,我觉得比较容易理解,实现也比较简单。

  1. 新建图G
  2. 把图G中所有的边按照权值从小到大排序。(一般使用优先队列)
  3. 取出最小的边
  4. 如果这条边连接的两个节点于图G中不在同一个连通分量中,则添加这条边到图G中.(使用并查集)
  5. 重复3,直至图G中所有的节点都在同一个连通分量中

实现代码

public class KruskalMST {

private Queue<Edge> mst = new Queue<>();
private double weight;

public KruskalMST(EdgeWeightedGraph g){
MinPQ<Edge> minPQ = new MinPQ<>();
for (Edge edge:g.edges()){
minPQ.insert(edge);
}
UF uf =new UF(minPQ.size());
while (!minPQ.isEmpty()){
Edge edge = minPQ.delMin();
int v = edge.either();
int w = edge.other(v);
if(!uf.connected(v,w)){
uf.union(v,w);
mst.enqueue(edge);
//weight+=edge.weight();
}
}
}
}

性能分析

Kruskal 算法 基本上取决于优先队列的选择,以及并查集的实现。

比较优的算法效率为 O(ElogE) E为图中的边数.

对优先队列和并查集不了解的同学可以看看我这两篇文章, 查找算法之顺序、二分、二叉搜索树、红黑树 和并查集

Prim

Prim 算法,简单的说就是 从一个点开始不断让树长大的过程,并且保持权值最小

  1. 生成图G
  2. 从s点开始
  3. 把与s点相连的边都加入 edgeTo[] ,并且保存到这些点的距离 distTo[] ,且插入到优先队列
  4. 出队一个点
  5. 查找与这个点相连的点,若权值比 distTo[] 中保存的值小则进更新,同时更新 distTo[] 和优先队列.
  6. 重复4

如下图

最小生成树 prim 和 Kruskal 详细学习笔记

实现代码

private Edge[] edgeTo;        // edgeTo[v] = shortest edge from tree vertex to non-tree vertex
private double[] distTo; // distTo[v] = weight of shortest such edge
private boolean[] marked; // marked[v] = true if v on tree, false otherwise
private IndexMinPQ<Double> pq;

public PrimMST(EdgeWeightedGraph G){
edgeTo = new Edge[G.V()];
distTo = new double[G.V()];
marked = new boolean[G.V()];
pq = new IndexMinPQ<Double>(G.V());
for (int v = 0; v < G.V(); v++)
distTo[v] = Double.POSITIVE_INFINITY;

for (int v = 0; v < G.V(); v++) // run from each vertex to find
if (!marked[v]) prim(G, v); // minimum spanning forest
}

private void prim(EdgeWeightedGraph g, int s) {
distTo[s]=0;
pq.insert(s,distTo[s]);
while (!pq.isEmpty()){
grow(g,pq.delMin());
}
}

private void grow(EdgeWeightedGraph g, int v) {
marked[v]=true;
for (Edge e :g.adj(v)){
int w = e.other(v);
if(marked[w]) continue;
if(distTo[w]>e.weight()){
distTo[w]=e.weight();
edgeTo[w] = e;
if(pq.contains(w))
pq.decreaseKey(w,distTo[w]);
else
pq.insert(w,distTo[w]);
}
}

}

性能分析

具体性能也是取决于优先队列的选择,一般来说可以达到 O(ElogV)

性能比较

Kruskal can have better performance if the edges can be sorted in linear time, or are already sorted.

Prim’s better if the number of edges to vertices is high.

引用自 stackoverflow

Reference

维基百科

算法4th

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