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一个有趣的算法问题:如何定义一个分数类

一个来自于C++程序设计的经典问题。如何定义一个分数类,实现分数的约分化简,分数之间的加法、减法、乘法、除法四则运算?

1.初见

刚看到这道题的时候,第一感觉是挺简单的啊,就是基本的面向对象,定义对应的加减乘除类就可以了啊,然而到了实现的时候才发现许多问题是说起来容易做起来难,在实现的过程中,发现了许多的注意点,以及算法。

最终得出结论: 这个问题着实是考察程序员基本功的一道好题

2.整体思路

分数类设计的总体思路如下:

分数的表示 约分和通分 加法和乘法的实现 减法和除法的实现 

3.注意事项

负数问题 函数的副作用(side effect) 静态方法和动态方法 除数不能等于0 

4.代码实现

4.1 属性和构造方法

构造方法中有三个细节:一是使用了 参数默认值 ,默认不写参数时,让分子分母都等于1;二是在构造方法中进行了 分母合法性 的验证,分母等于0时直接返回错误信息;三是对 负值 进行了处理,使分数的分母永远为正数,方便后续运算。

/** * 分数运算类 */ class Fraction  {     //定义分子和分母     public $fenzi;     public $fenmu;          //构造函数     function __construct($fenzi = 1,$fenmu = 1)     {         if ($fenmu == 0) {             return "分母不能为0";         }         if ($fenmu < 0) {             $fenmu = -$fenmu;             $fenzi = -$fenzi;         }         $this->fenzi = $fenzi;         $this->fenmu = $fenmu;     } }

4.2 最大公约数和最小公倍数

为了后续的约分和通分,必须先求出最大公约数和最小公倍数。求最大公约数采用 辗转相除法 ,而最小公倍数由以下公式可求:

最小公倍数 = (数A * 数B)/ 最大公约数

//求最大公约数用于约分 private static function _getmax($a, $b) {     if($a < 0) $a = -$a;     if($b < 0) $b = -$b;     $tmp = $a % $b;     while($tmp != 0) {         $a = $b;         $b = $tmp;         $tmp = $a % $b;     }     return $b; }  //求最小公倍数用于通分 private static function _getmin($a, $b) {     if($a < 0) $a = -$a;     if($b < 0) $b = -$b;        $max = self::_getmax($a,$b);     $min = intval(($a * $b) / $max);     return $min; }  /**  * 约分运算,基本算法为分子分母同时除以最大公约数;  * @return void 将对象的分子分母约分为最简形式      */ public function reduction() {     $max = $this->_getmax($this->fenzi,$this->fenmu);     $this->fenzi = intval($this->fenzi / $max);     $this->fenmu = intval($this->fenmu / $max); }

这两个方法全部都定义为静态私有方法,只在类内调用且不需实例化。求最大公约数和最小公倍数的算法其实还有很多种, @烬酱 采用了另外一种方法,C++代码如下:

/**  * 求最大公约数并进行约分  * @return void  */ int reduction() {     int i,comdiv,small,max;      if(above<below)     {         small=above;         max=below;     }     else     {         small=below;         max=above;     }      for(i=small;i>1;i--)     {         if(small%i==0 &max%i==0 )             break;     }      comdiv=i; //最大公约数     if(i!=0)     {         above/=i;         below/=i;     }     return 0; }

这种方法的本质就穷尽法,核心思想在于for循环当中。同样的,也可用此法求最小公倍数。

4.3 分数加减

分数加法的算法如下:

/**  * 加法运算,写成静态方法,需要传递两个分数对象实例。加法的基本步骤为:  * 1. 求两个分母的最小公倍数;  * 2. 利用最小公倍数进行通分,此时分母就是最小公倍数,第一个分数的分子等于原来的分子*(最小公倍数/原来的分母),第二个分数的分子同理;  * 3. 分母不变,分子相加;  * 4. 对结果进行约分;  *   * @param  fraction $fra1 分数相加的加数1  * @param  fraction $fra2 分数相加的加数2    * @return fraction  $fra 分数相加的计算结果  */ public static function add($fra1, $fra2) {     $fra = new Fraction();     $min = self::_getmin($fra1->fenmu,$fra2->fenmu);     $fenzi_left = $fra1->fenzi * ($min / $fra1->fenmu);     $fenzi_right = $fra2->fenzi * ($min / $fra2->fenmu);      $fra->fenmu = $min;     $fra->fenzi = $fenzi_left + $fenzi_right;     $fra->reduction();     return $fra; }  /**  * 减法运算,加法的逆运算,只需要将参数$fra2的分子取反,将减法运算化为加法运算  *   * @param  fraction $fra1 分数相减的被减数  * @param  fraction $fra2 分数相减的减数  * @return fraction $fra 分数相减的计算结果  */ public static function minus($fra1, $fra2) {     $fra_t = new Fraction(-$fra2->fenzi,$fra2->fenmu);     return self::add($fra1,$fra_t); }

在上述算法中,定义了两个静态方法,每个方法需要传入两个分数对象,之后就可以按上面的算法步骤进行加法和减法运算了。其中减法运算只需要转换为加法即可。需要注意的是,在减法运算中,存在两种可能的写法:

【写法1】

$fra2->fenzi = -$fra2->fenzi;

【写法2】

$fra_t = new Fraction(-$fra2->fenzi,$fra2->fenmu);

其中,第一种写法直接改变了减数分子的值,这里对减法本身的结果不会造成影响,表面上看是成立的,但其实这种写法产生了副作用,在计算乘法时,fra2就已经不是最初的分数值了,因此我们需要new一个新的对象,如写法2所示,这样就不会产生副作用改变分数2的值。

4.4 分数乘除

分数乘数就比较简单了,如下所示:

/**  * 乘法运算,分子相乘,分母相乘之后再约分  *   * @param  fraction $fra1 分数相乘的乘数1  * @param  fraction $fra2 分数相乘的乘数2  * @return fraction $fra 分数相乘的计算结果  */ public static function multiply($fra1,$fra2) {     $fra = new Fraction();      $fenzi = $fra1->fenzi * $fra2->fenzi;     $fenmu = $fra1->fenmu * $fra2->fenmu;      $fra->fenzi = $fenzi;     $fra->fenmu = $fenmu;     $fra->reduction();     return $fra; }  /**  * 除法运算,乘法运算的逆运算,只需要将参数$fra2的分子分母调换,将除法运算化为乘法运算  *   * @param  fraction $fra1 分数相除的被除数  * @param  fraction $fra2 分数相除的除数  * @return fraction       分数相除的计算结果  */ public static function divide($fra1,$fra2) {     $fra_t = new Fraction($fra2->fenmu,$fra2->fenzi);     $fra = self::multiply($fra1,$fra_t);     return $fra; }

4.5 分数的表示

最后,我们需要写一个方法,把分数以 a/b 的形式打印出来。

public function display() {     printf("%d/%d/n",$this->fenzi,$this->fenmu); }

这样我们的分数类的定义完了。

5. 结果展示

下面展示运行结果,先写一个调用:

$fra1 = new Fraction(3,4); $fra1->display();  $fra2 = new Fraction(12,20); $fra2->reduction(); $fra2->display();  $fra3 = Fraction::add($fra1,$fra2); $fra3->display();  $fra4 = Fraction::minus($fra1,$fra2); $fra4->display();  $fra5 = Fraction::multiply($fra1,$fra2); $fra5->display();  $fra6 = Fraction::divide($fra1,$fra2); $fra6->display();

如上,fra1期望直接打印出3/4, fra2对12/20先约分再输出,期望是3/5,fra3是计算fra1和fra2的加法,fra4为减法,fra5为乘法,fra6为除法。结果如下所示:

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