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AlphaGo相关技术:蒙特卡罗方法简介

蒙特卡罗(Monte Carlo)方法,也称为计算机随机模拟方法,是一种基于”随机数”的计算方法。

一、起源

这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的”曼哈顿计划”。Monte Carlo方法创始人主要是这四位:Stanislaw Marcin Ulam、Enrico Fermi、John von Neumann(学计算机的肯定都认识这个牛人吧)和 Nicholas Metropolis。

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  • Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家,早年是研究拓扑的,后因参与曼哈顿工程,兴趣遂转向应用数学,他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题,然后又将其应用到解决链式反应的理论中去,可以说是MC方法的奠基人;
  • Enrico Fermi是个物理大牛,理论和实验同时都是大牛,这在物理界很少见,在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次,对于这么牛的人只能是英年早逝了(别说我嘴损啊,上帝都嫉妒!);
  • John von Neumann(冯·诺依曼)可以说是计算机界的牛顿吧,太牛了,结果和Fermi一样,被上帝嫉妒了;
  • Nicholas Metropolis,希腊裔美籍数学家,物理学家,计算机科学家,这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大,正式由于他提出的一种什么算法(名字忘了),才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用,这人现在还活着,与前几位牛人不同,Metropolis很专一,他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。

蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗,该城市以赌博业闻名,而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。

二、解决问题的基本思路

Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪,人们就知道用事件发生的”频率”来决定事件的”概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现,特别是近年来高速电子计算机的出现,使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。

为了说明Monte Carlo方法的基本思想,让我们先来看一个简单的例子,从此例中你可以感受如何用Monte Carlo方法考虑问题。

例1:比如y=x^2(对x)从0积到1。结果就是下图红色部分的面积:

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注意到函数在(1,1)点的取值为1,所以整个红色区域在一个面积为1的正方形里面。所以所求区域的面积即为 在正方形区域内任取点,点落在所求区域的概率。这个限制条件是y^2。用matlab模拟,做一百万次(即共取1000000个点),结果为0.3328。

1)总结Monte Carlo方法的基本思想:所求解问题是某随机事件A出现的概率(或者是某随机变量B的期望值)。通过某种“实验”的方法,得出A事件出现的频率,以此估计出A事件出现的概率(或者得到随机变量B的某些数字特征,得出B的期望值)。

2)工作过程

在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作:

  • 用蒙特卡罗方法模拟某一过程时,需要产生各种概率分布的随机变量。
  • 用统计方法把模型的数字特征估计出来,从而得到实际问题的数值解。

3)蒙特卡罗解题三个主要步骤:

① 构造或描述概率过程: 对于本身就具有随机性质的问题,如粒子输运问题,主要是正确描述和模拟这个概率过程,对于本来不是随机性质的确定性问题,比如计算定积分,就必须事先构造一个人为的概率过程,它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

② 实现从已知概率分布抽样: 构造了概率模型以后,由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的,因此产生已知概率分布的随机变量(或随机向量),就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段,这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布(或称矩形分布)。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样,也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题,就是从这个分布的抽样问题。在计算机上,可以用物理方法产生随机数,但价格昂贵,不能重复,使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列,与真正的随机数序列不同,所以称为伪随机数,或伪随机数序列。不过,经过多种统计检验表明,它与真正的随机数,或随机数序列具有相近的性质,因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法,与从(0,1)上均匀分布抽样不同,这些方法都是借助于随机序列来实现的,也就是说,都是以产生随机数为前提的。由此可见,随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量: 一般说来,构造了概率模型并能从中抽样后,即实现模拟实验后,我们就要确定一个随机变量,作为所要求的问题的解,我们称它为无偏估计。

③ 建立各种估计量,相当于对模拟实验的结果进行考察和登记,从中得到问题的解。 例如:检验产品的正品率问题,我们可以用1表示正品,0表示次品,于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti,作为正品率的估计量: 于是,在N次实验后,正品个数为: 显然,正品率p为: 不难看出,Ti为无偏估计。当然,还可以引入其它类型的估计,如最大似然估计,渐进有偏估计等。但是,在蒙特卡罗计算中,使用最多的是无偏估计。 用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下:构造一个概率空间(W ,A,P),其中,W 是一个事件集合,A是集合W 的子集的s 体,P是在A上建立的某个概率测度;在这个概率空间中,选取一个随机变量q (w ),w Î W ,使得这个随机变量的期望值 正好是所要求的解Q ,然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。

三、本方法特点

直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。

  • 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。
  • 不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
  • MC程序结构清晰简单。
  • 研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题,比较容易得到自己想得到的任意中间结果,应用灵活性强。
  • MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质,其概率误差正比于,如果单纯以增大抽样粒子个数N来减小误差,就要增加很大的计算量。

另一类形式与Monte Carlo方法相似,但理论基础不同的方法-”拟蒙特卡罗方法”(Quasi-Monte Carlo方法)-近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的”华-王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是”用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍,并可计算精确度。

蒙特卡罗方法在金融工程学,宏观经济学,计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

四、Monte Carlo方法的计算程序

关于蒙特卡罗方法的计算程序已经有很多,如:EGS4、FLUKA、ETRAN、ITS、MCNP、GEANT等。这些程序大多经过了多年的发展,花费了几百人年的工作量。除欧洲核子研究中心(CERN)发行的GEANT主要用于高能物理探测器响应和粒子径迹的模拟外,其它程序都深入到低能领域,并被广泛应用。就电子和光子输运的模拟而言,这些程序可被分为两个系列:

  1. EGS4、FLUKA、GRANT
  2. ETRAN、ITS、MCNP 这两个系列的区别在于:对于电子输运过程的模拟根据不同的理论采用了不同的算法。

EGS4和ETRAN分别为两个系列的基础,其它程序都采用了它们的核心算法。

ETRAN(for Electron Transport)由美国国家标准局辐射研究中心开发,主要模拟光子和电子,能量范围可从1KeV到1GeV。

ITS(The integrated TIGER Series of Coupled Electron/Photon Monte Carlo Transport Codes )是由美国圣地亚哥(Sandia)国家实验室在ETRAN的基础上开发的一系列模拟计算程序,包括TIGER 、CYLTRAN 、ACCEPT等,它们的主要差别在于几何模型的不同。

TIGER研究的是一维多层的问题,CYLTRAN研究的是粒子在圆柱形介质中的输运问题,ACCEPT是解决粒子在三维空间输运的通用程序。NCNP(Monte Carlo Neutron and Photo Transport Code)由美国橡树林国家实验室(Oak Ridge National Laboratory)开发的一套模拟中子、光子和电子在物质中输运过程的通用MC 计算程序,在它早期的版本中并不包含对电子输运过程的模拟,只模拟中子和光子,较新的版本(如MCNP4A)则引进了ETRAN,加入了对电子的模拟。

FLUKA 是一个可以模拟包括中子、电子、光子和质子等30余种粒子的大型MC计算程序,它把EGS4容纳进来以完成对光子和电子输运过程的模拟,并且对低能电子的输运算法进行了改进。

五、Monte Carlo方法相关的一些资料

  • 一个网站: http://csep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html
  • 《蒙特卡罗方法》 徐钟济著 上海科学技术出版社
  • 《科学计算中的蒙特卡罗策略》(当代科学前沿论丛)(Monte Carlo Strategies in Scientific Computing) 作者:刘军  译者:唐年胜 周勇 徐亮
  • 统计物理学中的蒙特卡罗模拟方法  ( 德) 宾德(Binder,K.),赫尔曼(Heermann,D.W.) 著  北京大学出版社  1994.2
  • 小尺寸半导体器件的蒙特卡罗模拟  叶良修编著  科学出版社  1997.2
  • 蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用  裴鹿成, 张孝泽著  科学出版社  1980.10
  • 统计试验法:( 蒙特卡罗法) 及其在电子数字计算机上的实现  (苏) 布斯连科( Н. П. Бусленко), (苏) 施  上海科学技术出版社
  • 若干本书:人大经济论坛 http://www.pinggu.org/bbs/thread-445802-1-1.html
  • 高分子科学中的Monte Carlo方法  杨玉良  复旦大学出版社  1993.12  7-309-01361-1
  • Monte Carlo simulation of semiconductor devices  C. Moglestue.  Chapman & Hall,  1993.  041247770X
  • Monte Carlo methods in statistical physics  with contributions by K. Binder … [et al.] ; edi  Springer-Verlag,  1979.
  • guide to Monte Carlo simulations in statistical physics  David P. Landau, Kurt Binder.  Cambridge University Press,  c2000.
  • Monte Carlo methods in statistical physics  edited by K. Binder ; with contributions by K. Bin  Springer-Verlag,  c1986.
  • Applications of the Monte Carlo method in statistical physics  edited by K. Binder.  Springer,  1984.
  • Monte Carlo Device Simulation  Karl Hess  Kluwer Acadmic

参考资料:

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