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别人家的面试题:统计“1”的个数

小胡子哥@Barret李靖 给我推荐了一个写算法刷题的地方 leetcode.com ,没有 ACM 那么难,但题目很有趣。而且据说这些题目都来源于一些公司的面试题。好吧,解解别人公司的面试题其实很好玩,既能整理思路锻炼能力,又不用担心漏题 ╮(╯▽╰)╭。

长话短说,让我们来看 一道题

统计“1”的个数

给定一个非负整数 num,对于任意 i,0 ≤ i ≤ num,计算 i 的值对应的二进制数中 “1” 的个数,将这些结果返回为一个数组。

例如:

当 num = 5 时,返回值为 [0,1,1,2,1,2]。

/**  * @param {number} num  * @return {number[]}  */ var countBits = function(num) {     //在此处实现代码 }; 

解题思路

这道题咋一看还挺简单的,无非是:

  • 实现一个方法 countBit ,对任意非负整数 n,计算它的二进制数中“1”的个数
  • 循环 i 从 0 到 num,求 countBit(i) ,将值放在数组中返回。

JavaScript中,计算 countBit 可以取巧:

function countBit(n){     return n.toString(2).replace(/0/g,"").length; } 

上面的代码里,我们直接对 n 用 toString(2) 转成二进制表示的字符串,然后去掉其中的0,剩下的就是“1”的个数。

然后,我们写一下完整的程序:

版本1

function countBit(n){   return n.toString(2).replace(/0/g,"").length; }  function countBits(nums){   var ret = [];   for(var i = 0; i <= nums; i++){     ret.push(countBit(i));   }    return ret; } 

上面这种写法十分讨巧,好处是 countBit 利用 JavaScript 语言特性实现得十分简洁,坏处是如果将来要将它改写成其他语言的版本,就有可能懵B了,它不是很通用,而且它的性能还取决于 Number.prototype.toString(2) 和 String.prototype.replace 的实现。

所以为了追求更好的写法,我们有必要考虑一下 countBit 的通用实现法。

我们说,求一个整数的二进制表示中 “1” 的个数,最普通的当然是一个 O(logN) 的方法:

function countBit(n){     var ret = 0;     while(n > 0){         ret += n & 1;         n >>= 1;     }     return ret; } 

所以我们有了 版本2

这么实现也很简洁不是吗?但是这么实现是否最优?建议此处思考10秒钟再往下看。

更快的 countBit

上一个版本的 countBit 的时间复杂度已经是 O(logN) 了,难道还可以更快吗?当然是可以的,我们不需要去判断每一位是不是“1”,也能知道 n 的二进制中有几个“1”。

有一个诀窍,是基于以下一个定律:

  • 对于任意 n, n ≥ 1,有如下等式成立:
countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1 

这个很容易理解,大家只要想一下,对于任意 n,n – 1 的二进制数表示正好是 n 的二进制数的最末一个“1”退位,因此 n & n – 1 正好将 n 的最末一位“1”消去,例如:

  • 6的二进制数是 110, 5 = 6 – 1 的二进制数是 101, 6 & 5 的二进制数是 110 & 101 == 100

  • 88的二进制数是 1011000, 87 = 88 – 1 的二进制数是 1010111, 88 & 87 的二进制数是 1011000 & 1010111 == 1010000

于是,我们有了一个更快的算法:

版本3

function countBit(n){     var ret = 0;     while(n > 0){         ret++;         n &= n - 1;     }     return ret; }  function countBits(nums){   var ret = [];   for(var i = 0; i <= nums; i++){     ret.push(countBit(i));   }    return ret; } 

上面的 countBit(88) 只循环 3 次,而“版本2”的 countBit(88) 却需要循环 7 次。

优化到了这个程度,是不是一切都结束了呢?从算法上来说似乎已经是极致了?真的吗?再给大家 30 秒时间思考一下,然后再往下看。

countBits 的时间复杂度

考虑 countBits , 上面的算法:

  • “版本1” 的时间复杂度是 O(N*M),M 取决于 Number.prototype.toString 和 String.prototype.replace 的复杂度。
  • “版本2” 的时间复杂度是 O(N*logN)
  • “版本3” 的时间复杂度是 O(N*M),M 是 N 的二进制数中的“1”的个数,介于 1 ~ logN 之间。

上面三个版本的 countBits 的时间复杂度都大于 O(N)。那么有没有时间复杂度 O(N) 的算法呢?

实际上,“版本3”已经为我们提示了答案,答案就在上面的那个定律里,我把那个等式再写一遍:

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1 

也就是说,如果我们知道了 countBit(n & (n - 1)) ,那么我们也就知道了 countBit(n)

而我们知道 countBit(0) 的值是 0,于是,我们可以很简单的递推:

版本4

function countBits(nums){     var ret = [0];     for(var i = 1; i <= nums; i++){         ret.push(ret[i & i - 1] + 1);     }     return ret; } 

原来就这么简单,你想到了吗 ╮(╯▽╰)╭

以上就是所有的内容,简单的题目思考起来很有意思吧?程序员就应该追求完美的算法,不是吗?

这是 leetcode 算法面试题系列的第一期,下一期我们讨论 另外一道题 ,这道题也很有趣: 判断一个非负整数是否是 4 的整数次方 ,别告诉我你用循环,想想更巧妙的办法吧~

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