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结缘电脑60年 (彭民德著)

2 数学的严密推理和美的熏陶

我喜欢数学,跟计算机结缘是从跟数学结缘开始的。小学接触的鸡兔同笼等问题,有了代数方程式,就不用再去凑,很快便可以得到确定的解。平面几何的勾股定理,揭示直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,任何直角三角形都无一例外。任意三角形的内心、垂心、重心必定相交于一点。半径为R的圆,其周长必定是2πR,因而任何圆的周长都是无理数,计算时只能得到某个近似值。由于数学上引进了无理数π,圆周长的公式表示比任何实际计算都要准确无误。数学定理和公式简洁明了,体现一种美。其证明之严密令人无容置疑,同样体现数学之美。而0.618黄金分割则更能直接地揭示万物美的数学本质,以至于贯穿到建筑、艺术等一切审美场合。数学推理可以把表面上无关的东西串联起来,锻炼严密思维的习惯。

到了数学系,进入了一个崭新的学习领域。对比之下,原来中学学的是常量数学,现在要学变量数学了。客观世界是变动的,变量数学才更能揭示客观本质,常量只是变量的某个特征点而已,是静止的东西,中学里学的只是入门和基础。变量可能跟一个无限变动的过程相联系。现在老师带领我们走进无限数学知识的海洋,去领略大千世界里无限的数量关系和空间形式,那里太神奇,太美了。

在数学分析中,首先引入无限和极限的概念。现实世界无限无处不在,但往往以有限的形式表现出来。数学上给出无穷大量和无穷小量的准确定义。可以求出许多变量无限过程的极限值。

接着定义有理数和无理数,在数轴上有无限多个有理数,也有无限多个无理数。任意两个数之间都有无限多个无理数和无限多个有理数。有意思的是,全体有理数可以给出一个办法把它们排序,虽然谁也无法真正做到这一点,但是特定的排序方法,可以让每个有理数都处在序列中一个唯一确定的位置。可以证明根号2是无理数,也就是说永远无法用有穷小数位准确表示。

许多无理数都可以表示为某个无穷级数之和,或者某个数列的极限。例如π和e都有许多种无穷级数或者数列的表示方法,某些表示方法还以某个有独到研究的数学家命名。

我第一次接触一个奇怪的函数,定义在整个实数轴上,有理点取函数值0,无理点取1。它严格地符合函数定义,但无论如何无法画图,甚至无法用任何初等方法表示这个函数。这个函数很好地说明了函数和图形的概念不能混同。

有理数可以排序,是可数集合;无理数无法排序,属于不可数集。它们的元素都有无穷多个。但不可数集合上的元素个数要比可数集合上的元素个数多得多。此前我们对于这类集合没有了解。比如说,数轴上任何一条线段上都有不可数的无穷多个点。两个不可数集合上元素个数的多少,似乎无法比较,只好用按照建立一一对应关系的办法来比较。用这样的方法,将看到不同区段,不等长线段上的点,都一样多。因为只要把它们移动一下,作为一个同心圆的不同的圆周,所有的圆它们圆周上的点都处在大圆的同一条半径上,是一一对应的。由此又有结论,数轴上所有的线段,它们的点数都与[0, 1]区间的点数一样多。这个关系真是匪夷所思,难以理解,因为跟我们的直觉不一样。怎么能够说,区间[0, 1],与区间[0, 10]的点数一样多呢,不是后者要多一些吗?数学家们揭示出来真让人大开眼界,又可以理解。数学是最讲理的,每一步推导都有根据,只要认可数学上的点没有大小厚薄,不同于物理上的点,上述比较方法是科学的,结论就不得不令人信服。

一根实数轴已经包含了让你眼花缭乱的知识,复数平面上又有说不完的话,还不去说那极其抽象的这样那样许多的泛函空间。

数学不相信纯感性的东西,所有结论都要严格地推导,我有过深切的体验。《数学分析》课的期末考试以口试方式进行,学生逐个地考,要求极其严格。两位主考老师,桌上一个题签盒,应考者从盒子里随机地抽一个题,当场口试。我抽的题目是:一个于闭区间〔a, b〕上连续的函数f(x),若f(a)<0, f(b)>0,那么该区间内必定存在一个点x,其函数值f(x)=0。我咋一看,觉得很容易,是很显然的结论。就跟老师说,这不用证明吧。连续函数图形从下半平面连续地变化到上半平面,肯定会与x轴相交,这个交点的函数值就是0。老师说,函数不等同于图形,至于连续函数是否能等同于连续的图形,是不是也要证明呢,那就会引出新的论题,因此应该据题设条件用数学分析的方法来证明。我想了想,无从下手,只得放弃。于是落个不及格,上大学后首次考试就不及格,一次难得的不及格体验。

这次考试使我对于数学的严密性有了进一步了解。就这道题目而言,感性是对的,但数学不相信直觉,任何结论都必须经过推理证明。这道题目严格的证明应该是一种构造性的。取区间的中点x1,其函数值有三种可能。如果f(x1)等于0,结论就成立了。如果f(x1)小于0,讨论的范围就从区间〔a, b〕缩小到〔x1, b〕。如果f(x1)大于0,讨论的范围就从区间〔a, b〕缩小到〔a , x1〕。再对新区间取中点x2,判断其函数值。如果还没有出现函数值为0的情况,便将区间的二分工作继续进行下去,将会得到一个越来越小而且后者被前者包含着的区间系列,第i个区间以xi为中点,左右端点的函数值异号。如果不能在第n步得到f(xn)等于0,按照此前已经证明过的区间套定理,这个区间套将最终成为一个点x,其函数值f(x)与0要多近有多近,因而只能是0。什么叫做与0要多近有多近?要做到逻辑上的严密,光用这种自然语言表达还不行,必须用严密的数学语言来表达。这种数学语言叫做“εδ”语言,即对于任何无论多么小的ε,总存在一个δ,使得f(x-δ)<ε。有这种性质的x,才毫无疑问地有f(x)=0。

此后我注意到数学不能凭直觉,必须严格。每个定理、推论都必须一步一步证明。正是其严密,使其成了最美的科学,成就了其科学的皇后地位。

物理学上任何一个物理系统通常用数学上一组微分方程加以描述,物质运动定律甚至用某个简单的数学公式就可以准确地表达。牛顿力学有f=ma,其中f是物体所受的力,m是其质量,a是加速度。有自由落体的S= gt2,其中,S是物体下降高度,t是降落时间, g是重力加速度。高速世界中爱因斯坦相对论的深奥道理体现在数学公式E=mc2当中,其中E是物体的能量,m是物体的质量,c是光速。微观粒子由海森堡揭示的关于粒子不确定性原理是说,测量任意一个粒子动量的误差△E与测量该粒子位置的误差△T的乘积的极小值, 不会小于某个确定的量值。如果位置测准了,△T相对很小,体现运动速度的动量△E就会相对地大,就是说,如果位置测准了,速度就测不准,反之亦然。这种现象叫做测不准原理,还是用一个数学式子来表示: min(△E×△T)= h/(2π) 其中h是普朗克常数,虽然很小,但它还是个常数。信息领域中香农有信息量公式 ,其中P表示事件出现的概率,I表示该事件所包含的信息量。渗透到各个领域的精美的数学公式不胜枚举。马克思曾经断言,一门科学只有在它成功运用数学时,才算达到了真正完善的地步。

感谢数学,给了我逻辑和美的熏陶。饱览了数学的无限风光,跨入了科学殿堂的大门后,再往前走一步,设法把数学运用于工程,像架长江大桥那样,为祖国建设服务,那就要进入计算数学领域了。

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