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到底什么是风险中性测度?到底什么是对冲?

MFE、MF、FM等涉及金融工程的课程都会学习衍生品的定价问题,而在学习衍生品定价的过程中,几乎每个人都会学到测度变换与风险中性测度(risk neutral measure)。很多人不理解什么是风险中性测度,同时还有很多人明白如何使用,却又不了解风险中性测度的真实含义。

首先,我们先回顾一下,在没有任何模型的情况下,我们是怎么完成一个简单衍生品定价的。在没有model的时候,我们对一个Vanilla Call的定价是通过寻找一个对冲组合(replicating portfolio),这样,不论最后股票价格变成什么样子,我们对冲组合的价值总是和Call的Payoff是一致的,然后,我们就可以利用这个对冲组合现在的价值来作为Call现在的价格。简单的说,就是寻找一个在未来payoff上能替代这个Call的资产组合,然后把组合的价格加总就是现在的Call的价格,这也就是对冲的真正含义 —— 复制(replicate)。在英语里,replicate和hedge其实是一回事。

为什么期权价格要等于对冲组合的价格?如果你可以完美复制一个期权,而你复制的成本不同于期权的现在价格,那么市场中就会存在无风险套利的机会。

其实所有的衍生品定价理论的根本都是这个方法,那就是寻找replicating portfolio的现在价格。但对于奇异的期权或产品,你该怎么寻找这样的对冲组合?这时候风险中性测度作为一个有效的工具站了出来。

我们先看一下什么是风险中性测度。风险中性测度其实本质上是一个Equivalent Martingale Measure(EMM)。资产定价有两大基本定理:

1,如果市场没有无风险套利的机会,那么总会存在至少一个EMM使得折现资产价格过程是一个Martingale;

2,如果市场是完备的,也就是风险都是可完美对冲的,那么EMM是唯一的。

第一条定理告诉了我们,如果我们想要得到一个没有套利机会产品的价格(公平价格),我们需要在EMM的测度下求产品未来payoff的折现期望。第二条定理告诉我们,如果市场是完备的,那么这个EMM就是唯一的,公平价格也只有一种可能。

在大部分金融市场,我们可以做出完备市场的假设,但如果这个假设不成立,我们就会处于不完全市场,这个时候,即使没有套利机会,你的衍生品价格也不会是唯一的,因为你的EMM可以选取无限种。

那么,这跟我们的衍生品定价有什么关系呢?关系就是: 风险中性测度,或者叫EMM,其实隐含着你的replicating strategy。 跟我之前说的一样,所有的衍生品定价,本质上都是在寻找replicating portfolio的现在价值。而通过在EMM下求解期望问题,你可以直接的得到这个replicating portfolio的当下价格。在不完全市场,你无法完美对冲所有风险,根据定理一和二,你有不唯一的EMM,导致了你有很多种选择reolicating portfolio的方式,每种方式都对应着你不同的风险偏好。

我们在对金融产品进行定价的时候,很多情况都是假设完备市场。确实这不是个完美假设,但其实并没有很糟糕。FX、利率可以通过swap或fra等产品进行对冲,credit risk有CDS、bond等,commodity有futures、spread options等等,equity自然更是不必多说。衍生品和卖空的存在使得很多风险都成为了可对冲的。完备市场假设很多情况并不很糟糕。那什么时候用不完备市场理论呢?举个例子,你做保险定价,即使存在大量资产证券化产品,很多灾害产生的损失依然不可能完全对冲;还有就是,新兴的金融市场,市场衍生品并不完善,很多风险是不能够控制的。

那么在完备市场,因为我们只有一个价格,我们也就只有一种对冲组合。通过risk neutral measure,我们很方便的找到了这个组合的价格。这里要强调的是, 风险中性测度不是突发奇想被创造出来的无金融含义的东西,它的存在代表了对冲策略,它只是一个工具,背后的根基还是寻找replicating portfolio price。

很多朋友或许意识到了,到现在为止,我没有介绍任何的模型,无所谓简单的Black Scholes,抑或是复杂的stochastic volatility,一切都是model-free的。利用这个概念,也自然可以判断,为什么CVA需要Q Quant去完成价格制定:因为CVA的来源是信用风险,这个风险是可对冲的,你对冲的成本就应该是你的CVA,自然也就是在Q下的价格。

最后,最重要的,所有制定的价格都是对真正fair price的一个估计。这个世界不存在可以被完美model的任何事物。Quant给出价格,这只是你价格的参考,而不是教科书式的真理。

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