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衍生品定价中的模型拟合

今天我们聊一下衍生品定价中需要用到的模型拟合,要注意的是今天话题中心点是衍生品定价模型的拟合,而不是risk里偏统计的分布拟合。后者种类繁多,方法各式各样,完全可以写一本书。在这里我只讲一下定价模型的常用拟合方法,这部分内容相对容易一些,可以很轻松的被没有基础的读者接受。

一般来讲,定价模型拟合有两个目的:第一个目的,检测模型的好坏;第二个目的,让参数与现在的市场吻合,然后用之求新产品价格与参数敏感度(sensitivities)。之所以在求价格的同时也需要参数敏感度,是因为后者在风险对冲与管理中都会非常有用。

之所以说有两个目的,因为不同的目的可能对应着不同的拟合方法。举个很简单的例子,在实践中很多人都有用过这样一种拟合的方法,那就是把模型参数假设成关于时间的分段函数,这样你就有了更多的参数,也必然会有更好的拟合效果。然而,这个方法在检验模型好坏的时候是绝对不可以使用的,因为你拟合的时候相当于人为增加了参数数量,模型本身的特性好坏被参数数量的增加而隐藏了。这就像,给我一个可以分任意份的分段函数,我可以拟合任何数据一样。

对于以检验模型好坏为目的的定价模型拟合,我们一般采用最小二乘法(least square method)。方法的思想很简单,就是让模型量与目标量的距离平方和最小化。公式如下:

衍生品定价中的模型拟合

其中,x_i 是需要拟合的变量组合,比如是Heston里的初始波动率,标的与其波动率的相关系数等;theta是已知量,比如现在的标的价格,到期日等参数;y_i则是从市场上观测到的产品价格。

而解决这个问题最常用的算法也就是Nonlinear least square的高斯牛顿法,本质上就是从一个初始值出发,然后利用梯度来获取方向,然后计算出新的出发点,以此循环迭代直到达到目的。值得注意的就是,这个优化和Newton Raphson一样,是一个local optimiser,存在非全局优化的可能。

我现在给个不是我自己做的拟合图像,而是我听过的一门课的结果,我偷懒,就直接从课件里拿来用了。目标是EuroStoxx50 index在13年的一段。我们拿Heston模型和Merton Jump diffusion模型的拟合比较。我不给价格的拟合结果了,因为靠近的程度很难辨识差别,我们直接来看模型的implied volatility的拟合程度。图中,第一张是Heston

衍生品定价中的模型拟合 第二张是Merton jump diffusion

衍生品定价中的模型拟合

我们在这两个图像中可以看到Heston模型和Merton Jump diffusion模型的拟合非常接近,但很明显Heston会更加的自然一些。因为在Merton Jump里,使波动率不是常数的唯一因素只是Countable Jump。

以上就是比较模型好坏的拟合方式。但实际上,经过很多实践的检验,哪些是好模型,哪些是坏模型,有经验的人都一清二楚,比如equity用Heston是好选择,credit用Black-Karasinski是好选择。那这时候,有什么简单的方法来完成拟合,或增加拟合程度的方法呢?这时候,之前说的增加参数方式其实就能起作用了。

通过把参数设置成分段函数以增加参数,我们可以得到更好的拟合效果,能适当的增加定价和对冲的准确性。很多这种情况我们其实就是在求解一个非线性方程组。常用方法有多维度的Newton Raphson等数值方法。这里需要说明一点,多维度牛顿法和nonlinear least square的牛顿高斯法是有共通之处的,核心都是利用梯度矩阵。

现在,算法讲完。我们回到定价模型拟合的第一步,也是最关键的一步:选择Data。首先,我们用来拟合的数据应该至少有一个特征,那就是流动性高。从经济学的角度出发,如果一个产品流动性高,我们可以认为这个产品的价格是可以由市场供求关系给出的,而不是人为操作的。只有这样的数据才可以被认为是符合市场现状的,才可以被用来拟合。从对冲的角度出发也可以这样认为:如果我用一些流动性高的产品完成了拟合,在后期对冲哦中如果利用这些流动性高产品可以生成相对较少的对冲成本。如果利用流动性低的产品对冲,很容易会造成Market impact,产生更高的对冲成本。所以,在做拟合时,人们会尽可能的选取有较高流动性的产品,比如vanilla option,或者futures,这些exchange-traded产品都是很好的选择。

这也解释了,为什么一个模型如果能有vanilla option或future的close-form solution是非常好的性质。因为这个时候,我们在拟合的时候,作为拟合目标的vanilla option有显式的模型表达,拟合过程里计算梯度不需要用数值方法,不论是从速度还是精度上,都可以表现的很好。

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