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理解kmp算法

“KMP算法”,常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置.KMP算法是一种线性时间复杂的字符串匹配算法, 它是对BF算法(Brute-Force,最基本的字符串匹配算法的)改进。对于给的原始串S和模式串P,需要从字符串S中找到字符串P出现的位置的索引。

BF算法与KMP算法的区别

BF算法的时间复杂度O(S.length * T.length),空间复杂度O(1)。

KMP算法的时间复杂度O(S.length + T.length),空间复杂度O(T.length)。

字符串匹配算法必须要回溯。但回溯就影响了效率,回溯是由T串本身的性质决定的,是因为T串本身有前后’部分匹配’的性质。 改进的地方也就是这里,我们从T串本身出发,事先就找准了T自身前后部分匹配的位置,那就可以改进算法。 KMP算法就是利用之前已经部分匹配这个有效信息,保持i 不回溯,通过修改j 的位置,让模式串尽量地移动到有效的位置。

算法流程事例

1.首先,字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符,进行比较。因为B与A不匹配,所以搜索词后移一位.

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2.因为B与A不匹配,搜索词再往后移。

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3.就这样,直到字符串有一个字符,与搜索词的第一个字符相同为止。

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4.接着比较字符串和搜索词的下一个字符,还是相同。

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5.直到字符串有一个字符,与搜索词对应的字符不相同为止。

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6.这时,最自然的反应是,将搜索词整个后移一位,再从头逐个比较。这样做虽然可行,但是效率很差,因为你要把"搜索位置"移 到已经比较过的位置,重比一遍。

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7.一个基本事实是,当空格与D不匹配时,你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是,设法利用这个已知信息, 不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置,继续把它向后移,这样就提高了效率。

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8.怎么做到这一点呢?可以针对搜索词,算出一张《部分匹配表》(Partial Match Table)。这张表是如何产生的, 后面再介绍,这里只要会用就可以了。

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9.已知空格与D不匹配时,前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知,最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2,因此按照下面 的公式算出向后移动的位数:

移动位数 = 已匹配的字符数 – 对应的部分匹配值

因为 6 – 2 等于4,所以将搜索词向后移动4位。

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10.因为空格与C不匹配,搜索词还要继续往后移。这时,已匹配的字符数为2("AB"),对应的"部分匹配值"为0。所以, 移动位数 = 2 – 0,结果为 2,于是将搜索词向后移2位。

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11.因为空格与A不匹配,继续后移一位。

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12.逐位比较,直到发现C与D不匹配。于是,移动位数 = 6 – 2,继续将搜索词向后移动4位。

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13.逐位比较,直到搜索词的最后一位,发现完全匹配,于是搜索完成。如果还要继续搜索(即找出全部匹配), 移动位数 = 7 – 0,再将搜索词向后移动7位,这里就不再重复了。

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部分匹配表

下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。 首先,要了解两个概念:"前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外,一个字符串的全部头部组合; "后缀"指除了第一个字符以外,一个字符串的全部尾部组合。

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"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度,其前后缀都是表示完全前后缀,即不包含自身的前缀或者后缀。 下面以下图为例详细讲解一下

理解kmp算法

为了方便说明这里把搜索词记为:P={ABCDABD}.

1.P[0]表示“A”,其完全前后缀都是空,所以其部分匹配值为0

2.P[1]表示“AB”,其完全前缀为{空,A},完全后缀为{B,空},前后缀中只有空相同,所以AB(即P[1])的匹配值为0

3.P[2]表示“ABC”,其完全前缀为{空,A,AB},完全后缀为{BC,B,空},前后缀中只有空相同,所以ABC(即P[2])的匹配值为0

4.P[3]表示“ABCD”,其完全前缀为{空,A,AB,ABC},完全后缀为{BCD,CD,D,空},前后缀中只有空相同,所以ABCD(即P[3])的匹配值为0

5.P[4]表示“ABCDA”,其完全前缀为{空,A,AB,ABC,ABCD},完全后缀为{BCDA,CDA,DA,A,空},前后缀中都有{A}长度为1,所以ABCDA(即P[4])的匹配值为1

6.P[5]表示“ABCDAB”其完全前缀为{空,A,AB,ABC,ABCD,ABCDA},完全后缀为{BCDAB,CDAB,DAB,AB,B,空},前后缀中都有{AB}长度为2 ,所以ABCDAB(即P[5])的匹配值为2

7.P[6]表示“ABCDABD”其完全前缀为{空,A,AB,ABC,ABCD,ABCDA,ABCDAB},完全后缀为{BCDABD,CDABD,DABD,ABD,BD,D ,空},前后缀中只有空相同,所以ABCDABD(即P[6])的匹配值为0

说明: P[i]表示能匹配的字符串,部分匹配值计算的是能匹配的字符串对应该的值,例如上面的P[5]表示的是如果匹配了字符串“ABCDAB”, 则这个字符串对应的部分匹配值为2,而不是第二个字符B的部分匹配值. 为了方便操作,字符串的部分匹配值都对应到字符串的最后一个字符,这样即方便记录也方便查询

"部分匹配"的实质是,有时候,字符串头部和尾部会有重复。比如,"ABCDAB"之中有两个"AB",那么它的"部分匹配值"就是2("AB"的长度)。 搜索词移动的时候,第一个"AB"向后移动4位(字符串长度-部分匹配值),就可以来到第二个"AB"的位置。

体现到图中就是这个样子:

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这个就是next数组的作用了:返回当前的最长公共前后缀长度,假设为len。因为数组是由0开始的,所以next数组让第len位与主串匹配 就是拿最长前缀之后的第1位与失配位重新匹配,避免匹配串从头开始!如下图所示:重新匹配刚才的失配位

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next数组的求解思路

通过上文完全可以对kmp算法的原理有个清晰的了解,那么下一步就是编程实现了,其中最重要的就是如何根据待匹配的模版字符串求 出对应每一位的最大相同前后缀的长度。我先给出我的代码:


public static int[] makeNext(String ps) { int q, k;//q:模版字符串下标;k:最大前后缀长度 char[] p = ps.toCharArray(); int m = p.length;//模版字符串长度 int[] next = new int[m]; next[0] = 0;//模版字符串的第一个字符的最大前后缀长度为0 for (q = 1, k = 0; q < m; ++q)//for循环,从第二个字符开始,依次计算每一个字符对应的next值 { while (k > 0 && p[q] != p[k]) {//递归的求出P[0]···P[q]的最大的相同的前后缀长度k k = next[k - 1]; //关键 } if (p[q] == p[k])//如果相等,那么最大相同前后缀长度加1 { k++; } next[q] = k; } return next; }

next函数有多种不同的版本,有第一位从0开始的,也有从-1开始的,这里用next数组的,next数组是以下标0开始的!

现在我着重讲解一下makeNext方法所做的工作,如果觉得不好理解就多举几个例子输出一下数组。

我们先从简单的字符串开始,第一个例子是 ABCDABCE

调用如下代码输出:


System.out.print( Arrays.toString(makeNext("ABCDABCE")));

输出结果:[0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 0]。

注意第一个ABCD,他们的匹配值都是0. A是字符串开头,因为方法中next[0] = 0;从第二个字符开始循环,所以A的匹配值必然是0 。 这时k仍然是0,让q=1,开始执行for循环里面的部分,for循环里面嵌套了一个while循环,while循环后是一个if判断:


while (k > 0 && p[q] != p[k]) {//递归的求出P[0]···P[q]的最大的相同的前后缀长度k k = next[k - 1]; //关键 } if (p[q] == p[k])//如果相等,那么最大相同前后缀长度加1 { k++; }

对与第一个’B’字母,由于k=0,不满足while循环条件,那么跳过while,进行if判断,比较P[1]和[0],明显第二位的B和第一位的A不相等, 所以k不能执行k++,那现在执行for循环的最后一行next[q] = k;即给next[1]赋值,让next[1]等于0 。 按照上面的方法可以判断出,对于前4位ABCD的next值都是0,这里很好理解。

先总结一下目前的思路:当前面字符的前一个字符的对称程度为0的时候,只要将当前字符与子串第一个字符进行比较。这个很好理解啊, 前面都是0,说明都不对称了,如果多加了一个字符,要对称的话最多是当前的和第一个对称。比如agcta这个里面t的是0, 那么后面的a的对称程度只需要看它是不是等于第一个字符a了。

好了,现在开始比较字符串的第5位:A字母。当执行到while循环时,k=0,不满足条件,执行if判断,此时p[q] == p[k],因为 第5位和第1位都是字母A,执行下面的k++,此时k=1,把k赋值给next[4].

下面再看看下一位:字母B,执行while判断,此时k等于1了,k > 0 满足,但是不满足p[q] != p[k],因为第2位的B和第6位的B比较之后是相等的, 那么执行下面的if语句,k再加1. 对于后面的字母C也是同样分析。

按照这个推理,我们就可以总结一个规律,不仅前面是0,如果前面一个字符的next值是1,那么我们就把当前字符与子串第二个字符进行比较, 因为前面的是1,说明前面的字符已经和第一个相等了,如果这个又与第二个相等了,说明对称程度就是2了。有两个字符对称了。 比如上面agctag,倒数第二个a的next是1,说明它和第一个a对称了,接着我们就把最后一个g与第二个g比较,又相等,自然对称成都就累加了,就是2了。 按照上面的推理,如果一直相等,就一直累加,到这里应该很好理解。

当然不可能会那么顺利让我们一直对称下去,如果遇到下一个不相等了,那么说明不能继承前面的对称性了,这种情况只能说明没有那么多对称了, 但是不能说明一点对称性都没有,所以遇到这种情况就要重新来考虑,这个也是难点所在。

为了更好的解释下面的步骤,我们换一个更容易观察的例子:ABCDEFABCHABCDEFABCD。 这个字符串的next值是:[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 4]。 我们现在只分析最后一位字母X的next值的算法,前面的值的算法和上面的例子一样或者和下面要分析的算法一样。

观察这个字符串,前9位ABCDEFABC和倒数第二位前面的9位完全相等,到比较第10位的时候,比较的是H和最后一位字母D,发现不相等。 那么执行while循环里面的,终于走到while循环里了,之前一直跳过了这里。 关键代码就是这句:k = next[k – 1]; 因为这时候k=9,所以现在让 k = next[9-1] = next[8] = 3 ; 然后比较p[q]和 p[k],这时p[q] 是字符串最后一个字母D, p[k]就是p[3]也是D,判断相等,不执行while,执行下面的if, 执行k++,让最后一位next=4.

那么为什么要让k = next[k – 1] 呢?看下图:

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如果蓝色的部分相同,则当前next数组的值为上一个next的值加一,可以继承前面的对称性。如果不相同,那么 如果要存在对称性,那么对称程度肯定比前面这个的对称程度小,所以要找个更小的对称。也就是说上面那两段长的绿色块不能使用了。 那我们只能在最后一位字母D之前找到一个更小的对称,就是一个更小的绿色块。注意这个小的绿色块可以匹配全部字符串的开头。 注意下图的说明:

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我们先要保证的是第一块绿色块和第四块绿色块相等,也就是第一块和最后一块相等,这个不难理解。又因为之前第一块已经和第三块匹配过, 第二块已经和第四块匹配过,那么有第一块=第三块,第二块 = 第四块,而我们需要第一块=第四块,所以1,2,3,4块绿色必须要完全相等。

在ABCDEFABCHABCDEFABCD中绿色的块就是ABC,我们想要得到绿色块ABC的长度,这个长度就是next[k – 1] = next[8] = 3. 为什么,这个next[k – 1]对应是第二个绿色块的最后一位字母,也就是第9位的字母C,这个字母C的next值就是ABCDEFABC中最长公共前后缀的值:3. 有了这个绿色块的长度k了那么 while条件中的p[k]就是第一个绿色块的最后一位的下一位,我们比较这个字母和整个字符串的最后一位就可以了啊, 如果相等则k++,否则按照上面的方法,继续迭代,直到k=0 ;

现在我总结一下while循环所做的工作: 1.已知前一步计算时最大相同的前后缀长度为k(k>0),即P[0]···P[k-1]; 2.此时比较第k项P[k]与P[q],如图1所示 3.如果P[K]等于P[q],那么很简单跳出while循环; 4.关键如果不等呢???那么我们应该利用已经得到的next[0]···next[k-1]来求P[0]···P[k-1]这个子串中最大相同前后缀,为什么要求P [0]···P[k-1]的最大相同前后缀呢??原因在于P[k]已经和P[q]失配了,而且P[q-k] ··· P[q-1]又与P[0] ···P[k-1]相同, 看来P[0]···P[k-1]这么长的子串是用不了了,那么我要找个同样也是P[0]打头、P[k-1]结尾的子串即P[0]···Pj-1, 看看它的下一项P[j]是否能和P[q]匹配。如图2所示

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完整的算法

下面是完整的代码:


public class Test { public static void main(String args[]) { String str = "ABCDEFABCHABCDEFABCD"; String ptr = "ABC"; kmp(str, ptr, makeNext(str)); } public static int[] makeNext(String ps) { int q, k;//q:模版字符串下标;k:最大前后缀长度 char[] p = ps.toCharArray(); int m = p.length;//模版字符串长度 int[] next = new int[m]; next[0] = 0;//模版字符串的第一个字符的最大前后缀长度为0 for (q = 1, k = 0; q < m; ++q)//for循环,从第二个字符开始,依次计算每一个字符对应的next值 { while (k > 0 && p[q] != p[k]) {//递归的求出P[0]···P[q]的最大的相同的前后缀长度k k = next[k - 1]; //关键 } if (p[q] == p[k])//如果相等,那么最大相同前后缀长度加1 { k++; } next[q] = k; } return next; } public static void kmp(String original, String find, int next[]) { int j = 0; for (int i = 0; i < original.length(); i++) { while (j > 0 && original.charAt(i) != find.charAt(j)) j = next[j]; if (original.charAt(i) == find.charAt(j)) j++; if (j == find.length()) { System.out.println("find at position " + (i - j)); System.out.println(original.subSequence(i - j + 1, i + 1)); j = next[j]; } } } }

输出如下:

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