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翻译:字母排序算法解析

简介

假设存在数组(如:[0, 3, 3, 5, 8]),现在要生成其所有排列,最好的方法是什么?

可以按序,从数组中选取第1个元素将其作为首个元素,再用剩余元素递归地作类似排序,依次类推,就能得到所有的排列组合。但这种方法实现起来并不简单,整个过程包含了递归,栈存储,还得跳过重复的组合。再者,如果条件不允许使用额外的存储,只能对原数组元素进行处理,过程就更困难了。

针对这种情况,生成全排列组合最优的办法就是按组合的顺序,从低到高,先生成低的,再变换该排列组合,生成下一顺序的组合。而本文要描述的就是这种序列生成算法。接下来就一步步举例说明该算法。

算法详情

我们使用数组[0, 1, 2, 5, 3, 3, 0]举例说明。

翻译:字母排序算法解析

算法的关键点在于我们已经有了一个排列组合了,而现在需要计算 下一个排列组合 ,所以要 尽可能小地提升 当前排列组合的序列。这个过程和数数一样,我们尽量保持当前排列组合左边不动,只调整最右边的数字。

比如,从左到右看数组,不用将最左边第1个数0变成1(结果为[1, 0, 2, 5, 3, 3, 0]),因为相比之下,如果将[0, 1]变成[0, 2](结果为[0, 2, 1, 5, 3, 3, 0])更接近“下一个排列组合”。实际上其实这么变也不是最优的结果,接下来就说明到底该怎么做才是正确的。

首先、获取当前排列组合 最长的非递增后缀 ,本例中,这个后缀是[5, 3, 3, 0]。单看这个后缀,其排列组合顺序在其所有组合中已经是最高的了,所以无论怎么调整其顺序,都无法再获取更高排序的组合了,所以我们只能变换其左边的数字。(要识别出后缀,只需要从右到左遍历序列,时间复杂度为O(n)。且该后缀至少要包含一个元素,因为单个元素可以视作非递增的序列。)

接着、现在可以知道后缀左边第1个元素(本例中该元素为2),我们将其称为 哨兵 (如果后缀左边没有元素,即当前排列组就是从大到小排列的,则说明当前排列组合已经是最大的)。因为哨兵的值必小于后缀的首个元素(本例中后缀首个元素为5),而后缀是从大到小排列的,所以会有一部分元素比哨兵大。现在找到后缀中比哨兵大的最小元素,将哨兵和该元素交换位置,则前缀(这里将后缀左侧的排列称为前缀)就是最小值,本例中,新前缀为[0, 1, 3],新后缀为[5, 3, 2, 0](如果后缀中要和哨兵换位置的元素有很多个,我们应该取最右边的那个来交换)。

最后、现在将新后缀重新排列,使其元素从小到大排列。之所以要这样,是因为我们调整了前缀,将其变大了,所以后缀就要尽可能小。因为新后缀本来就是从大到小排列的,现在要将变为从小到大排列,直接逆序即可得到结果。现在我们可以拿到下一个序列的排列组合,为[0, 1, 3, 0, 2, 3, 5]。

算法总结如下:

  1. 找到最大索引 i ,使其满足条件 array[i-1] < array[i]

  2. 找到最大索引 j ,使其满足条件 j >= iarray[j] > array[i-1]

  3. 交换 array[j]array[i-1]

  4. 将后缀从 array[i] 开始逆序排列

现在如果你真正理解了以上算法,可以演试进行拓展练习:设计一个算法,对已有序列,求其上一个排序的排列组合。

示例代码

示例代码请参考 原文

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