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限制性三体问题初探——雅可比积分

在上一篇文章 「 限制性三体问题初探——建立运动学方程 – Hello Orbit! – 知乎专栏

」 中,Probe 运用欧拉-拉格朗日方程推导出了 CRTBP (圆型限制性三体问题)的运动学方程:

(1)

其中:

限制性三体问题初探——雅可比积分 (2)

限制性三体问题初探——雅可比积分 (3)

限制性三体问题初探——雅可比积分 一般被称作系统的有效势能。

在这篇文章中,咱们就主要针对这个运动学方程进行一些分析。

–注意:知乎里初次加载的图片质量稍微有点糊,此时点击一下图片就可以变清晰–

限制性三体问题初探——雅可比积分

雅可比积分

很显然,如果咱们只研究第三个质点的运动的话,CRTBP 系统在构形空间中只有 3 自由度,但是 3 个方向的运动( 限制性三体问题初探——雅可比积分 )是互相耦合的。而在相空间中,CRTBP 是一个 6 自由度的系统。那么,Probe 能否找到关于方程 (1) 的任何首次积分来给方程降维呢?

答案是肯定的。Probe 把方程 (1) 三个式子的两边分别乘上 限制性三体问题初探——雅可比积分限制性三体问题初探——雅可比积分限制性三体问题初探——雅可比积分 ,加和后进行积分,可以得到:

限制性三体问题初探——雅可比积分 (4)

其中上式右端的积分常量 限制性三体问题初探——雅可比积分 即是 CRTBP 的首次积分,一般被称为 雅可比积分(Jacobi Integral) ,它也可以表示为:

限制性三体问题初探——雅可比积分 (5)

其中 限制性三体问题初探——雅可比积分

从式 (5) 的形式就可以看出,雅可比积分实际上是质点总能量的量度;雅可比积分越大,则质点能量越小,反之亦然。最后,在关于 CRTBP 的研究论文中,一般还习惯给雅可比积分加上一个常量 限制性三体问题初探——雅可比积分 ,于是:

限制性三体问题初探——雅可比积分 (6)

这样做是因为新的定义有助于提高研究的便利性,并且不会对运动方程 (1) 产生任何的影响(This alternate definition of the Jacobi constant facilitates certain mathematical properties, but has no effect on the equations of motion)[1]。虽然 Probe 还是不太明白具体是怎么提升便利性的,但是既然大家都用了这个定义,咱也只好使用了_(:з」∠)_。

(更新:后来 Probe 重新检查了自己的代码,原来做毕设时用的雅可比积分计算式一直是 (5) 而不是 (6)_(:з」∠)_,不过还好这个对后面的影响不大。)

限制性三体问题初探——雅可比积分

零速度曲线

在 CRTBP 系统中,如果一个航天器在飞行途中没有改变自身能量(或者说没有产生任何 限制性三体问题初探——雅可比积分 ),那么它的雅可比积分一定是守恒的。在特定的雅可比积分取值下,航天器所能到达的空间位置一定是确定的。如果咱们只考虑航天器在二维平面上的运动(暂不考虑 限制性三体问题初探——雅可比积分 方向的运动),就可以绘制出任意雅可比积分下的 零速度曲线(Zero-Velocity Curves

咱们只需要将式 (6) 中 限制性三体问题初探——雅可比积分 取为零即可(并且不考虑 限制性三体问题初探——雅可比积分 方向):

限制性三体问题初探——雅可比积分 (7)

上式定义了二维空间中的一系列封闭曲线。

比如,咱们以地-月系为例( 限制性三体问题初探——雅可比积分 ),画出一条零速度曲线:

限制性三体问题初探——雅可比积分

地-月系中, 限制性三体问题初探——雅可比积分 的一条零速度曲线。零速度曲线的含义是,如果航天器运行到了曲线上,那么它的速度一定为0。

可以看到,封闭的曲线将二维空间分割成了两个区域。一个被称为 希尔域(Hill’s Region) ,是航天器可以到达的区域;另一个被称为 禁行域(Forbidden Region) ,是在当前的雅可比积分下航天器无法到达的区域。在这里 Probe 引用一下别人的图[1]让大家直观感受一下:

限制性三体问题初探——雅可比积分

在左边的图中,地月之间的希尔域是连通的,因此航天器可以运行到月球轨道以外的大片区域。而在右边的图中,地月之间的希尔域不连通,因此航天器无论如何也无法接近月球。

此外,咱们还可以把不同雅可比积分取值下的零速度曲线依次画出,绘制成等高线图:

限制性三体问题初探——雅可比积分

地月系中的零速度曲面,同样也是等效势能曲面,颜色越深代表雅可比积分越小。

如果画成三维曲面可能看得更清楚一点:

限制性三体问题初探——雅可比积分

限制性三体问题初探——雅可比积分 的等效势能曲面,引用自[2]。

想必大家都已经看出来了,零速度曲面,或者说等效势能曲面上的五个极点就是 CRTBP 系统的五个平衡点,这些点也就是大家耳熟能详的 拉格朗日点

关于拉格朗日点具体的计算咱们留到下一篇文章来讲,这里先来说说如何用拉格朗日点给 CRTBP 的希尔域分类(以地月系为例)。

Probe 将五个拉格朗日点的数据带入式 (7) 中,那么可以得到一组雅可比积分取值:

限制性三体问题初探——雅可比积分 (8)

(更新:Probe 终于弄明白新的定义式 (6) 是怎么带来“便利性”的了。如果按照 (6) 的定义, 限制性三体问题初探——雅可比积分 算出来应该刚好等于3,这就显得很工整……)

上述取值将 CRTBP 的希尔域分成了如下几种情况:

限制性三体问题初探——雅可比积分

CRTBP 中希尔域的几种不同情况。

咱们把上面的图总结一下就是:

  • 限制性三体问题初探——雅可比积分 时,主天体与次天体的希尔域相互隔开,从一个天体到另一个天体的转移轨道不存在(对应图1);
  • 限制性三体问题初探——雅可比积分 时,主天体与次天体的希尔域通过 限制性三体问题初探——雅可比积分 点相连,转移轨道存在,但是由于 限制性三体问题初探——雅可比积分 的区域依然封闭,质点无法离开二体系统到达外部区域(对应图2);
  • 限制性三体问题初探——雅可比积分 时, 限制性三体问题初探——雅可比积分 点与 限制性三体问题初探——雅可比积分 点的区域都被打通,质点可以离开二体系统到达外部区域,但是 限制性三体问题初探——雅可比积分 点处依然封闭(对应图3);
  • 限制性三体问题初探——雅可比积分 时, 限制性三体问题初探——雅可比积分限制性三体问题初探——雅可比积分限制性三体问题初探——雅可比积分 点的希尔域均打通,但是禁行域依然存在于 限制性三体问题初探——雅可比积分限制性三体问题初探——雅可比积分 点周围(对应图5);
  • 限制性三体问题初探——雅可比积分 时,禁行域消失(对应图6)。

虽然结论说起来很啰嗦,但是这对于咱们以后在 CRTBP 系统中设计转移轨道(比如地月转移轨道)来说是灰常有用的(ง •̀_•́)ง!

下篇文章写五个拉格朗日点的计算,最近高产起来连 Probe 自己都怕。

参考文献

[1] J S Parker. Low-energy ballistic lunar transfers . PhD thesis, 2007.

[2] W S Koon, M W Lo, J E Marsden, and Shane D Ross. Dynamical systems, the three-body problem and space mission design. available online Accessed , 2008.

[3] 封面图来自《三体:黑暗森林》英文版封面

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