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数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

我首先想到的是等距嵌入.

等距嵌入问题是Riemann几何中一个比较基础(却并不容易) 的结构性问题: 能不能将Riemann流形等距嵌入到欧氏空间里去? 换句话说, 能不能将一个抽象的Riemann流形实现为平坦空间中的一个具体的曲面? 这个问题刻画的是抽象的Riemann流形同具体的曲面之间的关联. Whitney有一个基本的嵌入定理: 任何 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 维光滑流形都可以光滑嵌入到 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

维的欧氏空间中. 然而Whitney嵌入定理完全无法保证嵌入是等距的.

第一个给出一般性结论的是John Nash. 他对这个问题给出了肯定的解答: 任何光滑的 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 维Riemann流形都可以等距嵌入到某个欧氏空间中(维数只与 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

有关系), 而且嵌入映射的可微性可以任意高(但依旧不能要求为光滑的). 但他使用的方法之繁琐, 令人望而生畏.

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很容易通过一些简单的技巧将原来的问题化归成了一个微扰问题. 假设 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 是一个 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 维的光滑紧流形(为了简单起见只讨论紧流形), 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 到某个欧氏空间中的光滑嵌入映射, 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 代表 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 诱导的Riemann度量. 于是对任何一个 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 上的Riemann度量 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? , 要证明方程 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 存在解. 通过Whitney嵌入定理, 容易把 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 光滑嵌入到环面里去, 而再通过简单的延拓技巧即可将定理归结为 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

是环面的情形. 这么做是为了赋予流形一个整体的坐标.

于是问题归结为: 设 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 是环面 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 上的Riemann度量. 寻找光滑嵌入 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? , 使得 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? . 这里目标空间的维数 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 只与 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

有关.

数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 代表欧氏空间的标准内积. 设 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

上的标准坐标, 则方程可以写为

数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? Nash首先发现, 所有可以写成 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

形式的光滑度量在全体光滑度量所成的空间(Frechet空间拓扑)里稠密. 从而需要求解的方程形如

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,

这里 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 离目标 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 很近, 而 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 是任意的"很小"的对称二阶张量. 进一步, 可以这样选取 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? , 使得 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

是嵌入, 而且还满足:

对任何一点 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? , 向量组 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

都是线性无关的.

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思路进行到这里还都是初等微积分. 但归结为方程 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 之后, 问题一下子变得极为棘手. 这种方程本来似乎可以通过传统的Newton迭代方法加以解决, 然而计算了Newton方法所需要的导数 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 之后, 却发现Newton方法完全不可行, 因为导数 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 来讲是个一阶微分算子, 从而就丢失了关于 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 的光滑性的信息. 要是这么迭代下去 方程本身又是泛定的(随便找到一个解之后, 复合上一个欧氏运动依旧是方程的解, 所以如果方程存在解, 那么解一定非常非常多), 所以不能找到 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

的"逆算子".

所以Nash使用了一种非常复杂的迭代技巧, 这种技巧后来被Moser, Hormander等等一系列分析学家整理出来, 得到了"Nash-Moser技巧"或者"Nash-Moser隐函数定理"的美誉. 大体来说, 它是Newton迭代的一种修正, 每次迭代之后使用一个磨光算子把迭代的结果磨光一下, 然后再进行下一次迭代. 这个方程本身的"驯顺的"(tame)结构, 使得光滑性的信息丢失可以在一定程度上补回来.

Nash的工作是在六十年代做的, 他的论文原文有五十多页. 现在即便做出大量的简化, 这种Nash-Moser迭代技巧依旧是非常繁琐的. 所有详细论述这个技巧的文献都长得十分可怕. 稍早些的文献喜欢把它放在一族Banach空间的框架下来讨论, 并且管它叫hard implicit function theorem (套用一下卢昌海的措辞, 可以戏谑地翻译成豪华版隐函数定理).

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然而在八十年代末, Guther却发现了一种解上面方程的技巧, 它较之Nash的做法要简单得多.

Guther的证明如下:

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, 则方程重写为

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.

用算子 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 作用, 得到( 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

是常系数二次齐次多项式) :

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从而只要解

数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 就够了. 根据假定, 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

是自由嵌入, 从而可写

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.

在Holder连续函数空间 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? ( 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答? 而且不是整数)中, 当 数学或者自然科学中有哪些理论技巧一经提出就大大化简了过去某些问题很困难繁琐的解答?

的模很小时, 上述映射是个压缩映射, 因为右边是"二次的". 这样根据压缩映射原理, 上面方程有解.

Guther的论文写得相当啰嗦, 但却也只有九页纸. 上面简短的论证已经将Guther证明的核心内容完全讲清楚了. 如果用比较简洁的现代记号重写一遍的话, 两页纸不到就能完全说清这个证明.

——注意, Riemann流形的等距嵌入可是个著名的难题!

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